NEW AGING CLASSES OF LIFE DISTRIBUTIONS UNDER SHOCK MODELS

Table of Contents

Content                                                                                                               Page

List of Figures                                                                                                                    xi

List of Tables                                                                                                                     xii

 

Chapter 1: Introduction

1.1 Aims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    1

1.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1

            1.3 Notation and Definitions  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2

            1.4 Increasing (Decreasing) Failure Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    3

1.5 Mean Residual Lifetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    4

1.5.1 Construction of the test Statistic   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .   4

1.5.2 Decreasing (Increasing) MRL    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . .  5

            1.5.2.1 Testing against DMRL alternatives  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6

1.6 Variance Residual Lifetime   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

            1.6.1 Decreasing (Increasing) VRL  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7

1.6.1.1 Testing DVRL (IVRL) against Exponentiality  . . . . . . . . .  8

1.7 Increasing Failure Rate Average  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . .   8

1.7.1 Testing against IFRA alternatives   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .   9

1.8 New Better than Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .  10

1.9 New Better than Used in Expectation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  10

1.10 New Better than Used in Convex Ordering  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .  . 11

1.10.1 Testing against NBUC alternatives  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .  11

1.11 Net Decreasing VRL  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12

1.11.1 Testing NDVRL against Exponentiality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12 Implication between Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Increasing Mean Doubly Truncated   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . 14

1.14 Increasing Variance Doubly Truncated   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14

1.15 Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  15

Chapter 2: Shock and Damage Models in Reliability Theory

2.1 Introduction  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18

2.2 Renewal Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   21

                        2.2.1 Renewal Process   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22

                        2.2.2 Poisson Process   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .   24

2.3 Shock Processes   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  26

2.4. Damage Models  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  27

2.4.1 Cumulative Damage Models   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  29

2.4.2 Independent Damage Models  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34

Chapter3: Renewal Increasing Mean Residual Life Distributions: An age Replacement Model with Hypothesis Testing Application

3.1 Introduction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Basic definitions and properties   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  39

3.3 Moment inequality  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Testing exponentiality against RIMRL_shock alternatives . . . . . . . . . . . . . . . .  48

3.5 Power Simulation and numerical examples      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  53

3.5.1. Simulated Power Studies  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Appendix A:

R Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . .  . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

• Simulated percentile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . … . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

• The empirical power estimate . . . . . . . . .  . . . .  . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  • Simulation Weibull . . . . . . . . . . . . .  . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  59

  • Simulation Gamma . . . . . . . . . . . . .  . .. .. . . . . . . . . . . .  . . . . . . . .  61

1.2.3 Simulation Linear Failure Rate . . . . . . . . .  . . . .  . .. .. . . . . . . .  . .  ..  62

References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  64

List of Figures

Figure 1.1. The hazard function h (t) bathtub shape function   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    3

Figure 2.1. Total number of failed units over the time    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21

Figure 2.2. Standard cumulative damage model  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  28

Figure 2.3. Independent damage model  . . . . . . . . . . .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figure 3.1. Cumulative damage model . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  40

Figure 3.2. Relation between critical value, sample size and confidence level. . . . . . . .   54

List of Tables

Table 4.1.Critical values for the upper percentiles of  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  60

Table 4.2. Power estimates for RIMRL_shock using α=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62