بررسی وجود جواب های مثبت رده هایی از دستگاه های غیرمحلی بیضوی با پارامترهای چندگانه

فهرست مطالب

چکیده………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. هـ

فصل اول : تعاریف ، مفاهیم و قضایای مقدماتی………………………………………………………………………………………… 1

مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2

1.1. تعاریف و مفاهیم مقدماتی…………………………………………………………………………………………………………………… 2

1.1.1 تعریف (معادله ی دیفرانسیل)…………………………………………………………………………………………………………… 2

2.1.1 تعریف (معادلات دیفرانسیل جزیی)…………………………………………………………………………………………………. 2

3.1.1 تعریف (دامنه)……………………………………………………………………………………………………………………………………. 3

4.1.1 تعریف…………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3

5.1.1 تعریف…………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3

6.1.1 تعریف (تابع آزمون)…………………………………………………………………………………………………………………………… 4

7.1.1 تعریف (مجموعه های اندازه پذیر و توابع اندازه پذیر)……………………………………………………………………. 4

8.1.1 تعریف (تابع محدب)………………………………………………………………………………………………………………………….. 4

9.1.1 تعریف (تابع اکیدا محدب)………………………………………………………………………………………………………………… 4

10.1.1 معرفی نمادهای مجانبی ………………………………………………………………………………………………….. 5

11.1.1 تعریف (فضای )…………………………………………………………………………………………………………………… 6

12.1.1 تعریف (انتگرال پذیری موضعی تابع روی دامنه )……………………………………………………………….. 7

13.1.1 تعریف (پیوستگی هولدر)……………………………………………………………………………………………………………….. 8

14.1.1 تعریف………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 8

15.1.1 تعریف (سوپریمم اساسی)……………………………………………………………………………………………………………… 9

2.1  فضاهای باناخ و هیلبرت………………………………………………………………………………………………………………………. 9

1.2.1 تعریف (فضای خطی نرمدار و باناخ)…………………………………………………………………………………………………. 9

2.2.1 تعریف (فضای ضرب داخلی و هیلبرت)………………………………………………………………………………………… 10

3.1 عملگرهای خطی………………………………………………………………………………………………………………………………… 11

1.3.1 تعریف (عملگرخطی)………………………………………………………………………………………………………………………. 11

2.3.1 تعریف (فضای دوگان)…………………………………………………………………………………………………………………….. 12

3.3.1 تعریف (نرمهای معادل)…………………………………………………………………………………………………………………… 12

4.3.1 تعریف (مشتق یک نگاشت)…………………………………………………………………………………………………………… 12

5.3.1 تعریف (نقطه ی بحرانی یک تابعک)……………………………………………………………………………………………… 13

6.3.1 تعریف (همگرایی ضعیف)………………………………………………………………………………………………………………. 13

7.3.1 تعریف (کوشی ضعیف)…………………………………………………………………………………………………………………… 13

8.3.1 تعریف (همگرایی قوی)………………………………………………………………………………………………………………….. 13

9.3.1 گزاره………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 14

10.3.1 تعریف (عملگر کراندار)………………………………………………………………………………………………………………… 14

11.3.1 تعریف (عملگرخطی فشرده)……………………………………………………………………………………………………….. 15

12.3.1 تعریف (نیمه پیوسته  پایینی و بالایی)………………………………………………………………………………………. 15

13.3.1 تعریف (بردار گرادیان)………………………………………………………………………………………………………………….. 15

14.3.1 تعریف (دیورژانس)……………………………………………………………………………………………………………………….. 15

15.3.1 تعریف (لاپلاسین)………………………………………………………………………………………………………………………… 16

16.3.1 قضیه دیورژانس…………………………………………………………………………………………………………………………….. 16

17.3.1 تعریف (عملگر بیضوی)………………………………………………………………………………………………………………… 17

4.1 فضاهای سوبولوف……………………………………………………………………………………………………………………………….. 17

1.4.1 تعریف (اندیس چندگانه)……………………………………………………………………………………………………………….. 17

2.4.1 تعریف (مشتق ضعیف)…………………………………………………………………………………………………………………… 18

3.4.1 تعریف)فضای سوبولف (…………………………………………………………………………………………………. 19

4.4.1 تعریف (نرم در فضای سوبولف )………………………………………………………………………………….. 20

5.4.1تعریف………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 20

6.4.1 تعریف (نشاندن)………………………………………………………………………………………………………………………………. 20

7.4.1 قضیه (نامساوی سوبولف برای )…………………………………………………………………………………………. 21

8.4.1 قضیه (نشاندن سوبولف برای )…………………………………………………………………………………………… 21

9.4.1 قضیه (نشاندن سوبولف برای )…………………………………………………………………………………………… 21

10.4.1 تعریف……………………………………………………………………………………………………………………………………………. 21

11.4.1 شرط پالایز- اسمال……………………………………………………………………………………………………………………… 22

12.4.1 تعریف……………………………………………………………………………………………………………………………………………. 22

13.4.1 روش تغییراتی……………………………………………………………………………………………………………………………… 22

14.4.1 قضیه ی  مسیر کوهی ……………………………………………………………………………………………………………….. 22

فصل دوم : جواب­های مثبت برای مسائل  بیضوی شبه­خطی نوع کیرشهف………………………………………… 24

2-1. مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 25

2-2.  اختلال همگن…………………………………………………………………………………………………………………………………. 27

2-3.   روش­های تغییراتی………………………………………………………………………………………………………………………… 30

فصل سوم : جواب­های مثبت برای رده­ای از دستگاه های  پیوسته قوی p-لاپلاسین……………………….. 42

3-1. مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 43

3-2.  اثبات قضیه­ی 1-1…………………………………………………………………………………………………………………………. 45

3-3.   اثبات قضیه­ی­ 1-2………………………………………………………………………………………………………………………… 49

3-4.   مثال­ها…………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 51

فصل چهارم : وجود جواب­های مثبت برای کلاسی از دستگاه ­های بیضوی غیرمحلی با پارامترهای چندگانه    53

4-1. مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 54

4-2.  مقدمات……………………………………………………………………………………………………………………………………………. 55

4-3.  اثبات نتایج اصلی……………………………………………………………………………………………………………………………. 58

منابع……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 62

واژه نامه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 67

چکیده انگلیسی…………………………………………………………………………………………………………………………………………. 72