مروری بر مفاهیم مسائل معکوس در ژئوفیزیک

تعداد 132 صفحه  درword

مروری بر مفاهیم مسائل معکوس در ژئوفیزیک

1-1 مسائل مستقيم و معكوس در ژئوفيزيك

1-1-1 مقدمه

هر محققی در علوم کاربردی که به تجزیه و تحلیل داده ها می پردازد با مساله وارون مواجه می شود. نظریه وارون سازی به طور خلاصه عبارتست از به کار بردن مجموعه ای از روشها برای استخراج نتایج مفید از محیط به وسیله اندازه گیری های فیزیکی. خواص فيزيكي مورد مطالعه در دو گروه عمده قرار مي گيرند: 1- آنهايي كه مي توانند با پارامترهاي گسسته[1]  توصيف گردند و 2- آنهايي كه مي بايست با توابع پيوسته[2] توصيف گردند. نظريه مسائل وارون روش­هاي رياضي متفاوتي را براي حل اين دو گروه از پارامترها به كار مي برد: نظريه معادلات ماتريسي[3] براي پارامترهاي گسسته و نظريه معادلات انتگرالي[4] براي توابع پيوسته. برازش کردن یک خط مستقیم بر داده ها به طور مثال یک نمونه ساده از وارون سازی می باشد. یک مثال دیگر از کاربرد مساله وارون در سطح پیشرفته تر توموگرافی پزشکی می باشد. نظريه مسائل وارون به مشاهدات و پرسش­هايي كه به صورت عددي مطرح مي­شوند محدود مي­گردد. مشاهدات انجام گرفته در مورد جهان پيرامون به صورت جداولی از کمیتها یا همان “داده ها” مورد استفاده قرار مي­گيرد. پرسشهايي كه نظريه مسائل وارون بدانها پاسخ مي گويد، مي­بايست بر حسب مقادير عددي خواص جهان فيزيكي بيان گردند اين خواص فيزيكي  همان “پارامترهاي مدل”[5] هستند. فرض می شود یک رابطه خاص که معمولا رابطه ای ریاضی است و به آن “مدل” می گوییم بین داده ها و پارامتر های مدل برقرار است. نظريه مسائل وارون تا حد زيادي توسط كساني كه با داده­هاي ژئوفيزيكي سروكار دارند پيشرفت نموده است زيرا ژئوفيزيكدانان همواره سعي بر درك درون زمين دارند ، اما محكوم به استفاده از داده­هاي جمع آوري شده در سطح زمين هستند . عبارت نظریه وارون در مقابل نظریه مستقیم به کار می رود که عبارتست از مراحل پیش بینی نتایج اندازه گیری ها یا به عبارتی پیش بینی داده ها بر اساس یک سری اصول کلی یا همان شروط مربوط به مساله که از آنها مطلعیم. مسئله مستقیم به کشف قوانین فیزیکی­که با داشتن مقادیر خاص برای پارامترهای مدل، بتوان پیش بینی­هایی درمورد پارامترهای قابل مشاهده انجام داد می پردازد  نظریه وارون مساله را به صورت عکس بررسی می کند به این صورت که با داده ها و اصول کلی یا همان مدل آغاز می کند و بدین وسیله تخمینی از پارامتر های مدل به دست می آورد.

به عنوان مقایسه­ای ساده بین مسائل مستقیم و مسائل وارون، تغییرات درجه حرارت با عمق را در نظر بگیرید. اگر فرض­کنیم که درجه حرارت به صورت خطی با عمق تغییر نماید می توان این تغییرات را به صورت رابطه خطی زیر نشان داد:

 و  اعداد ثابتی هستند. اگر مقدار  و  معلوم باشد به آسانی می توان با قرار دادن مقدار عمق در سمت راست رابطه  درجه حرارت در آن عمق خاص را محاسبه نمود. این یک مسئله مستقیم است. حال بالعکس فرض نمایید  و  معلوم نبوده و مجموعه­ای از داده­ها به صورت درجه حرارت در اعماق مختلف را در دست داشته باشیم و بخواهیم با این اطلاعات مقدار  و  را تخمین بزنیم که مسلما کاری دشوارتر خواهد بود اینجا با یک مسئله وارون سروکار داریم مدل در اینجا رابطه  و پارامترهای آن   و  هستند.

مسائل وارون در دو گروه عمده مسائل گسسته[6] و مسائل پیوسته[7] جای می‌گیرند. در مسائل گسسته تعداد پارامترها محدود می‌باشد، به عبارت دیگر بعد فضای مدل محدود است. در مسائل پیوسته بعد فضای مدل نامحدود است یعنی مدل به صورت تعداد پارامترهای خاصی تعریف نگردیده بلکه به صورت یک فرم تابعی است. وجه اشتراک مهم این دو گروه آن است که در هر دو فضا داده‌ها با بعد محدود می‌باشد زیرا داده‌های مشاهده شده به صورت جدولی از اعداد و ارقام ثبت شده است که هیچ‌گاه نمی‌تواند تعدادشان بی‌نهایت باشد. در بررسی مسائل پیوسته با یکی از فرم‌های تابعی و در مسائل گسسته با یکی از فرم‌های ماتریسی سروکار داریم. گرچه مسائل زیادی هستند که ماهیتاً پیوسته هستند، اما درحل، نخست به صورت گسسته درمی‌آیند و آنگاه تحت عنوان یک مسأله وارون گسسته حل می‌گردند به عنوان مثال، مسأله یافتن ضرایب a و b در رابطه  یک مسأله وارون گسسته است زیرا در اینجا دو پارامتر داریم.

جهت حل مسائل وارون پیوسته به حجم داده‌های زیادی نیاز است این مسائل درهر صورت با عدم یکتایی[8] شدیدی مواجه هستند زیرا تعداد داده‌ها همواره از تعداد بی‌نهایت پارامترهای مدل کمتر خواهد بود. علاوه بر این، از آنجایی که جهت حل این مسائل با فرم‌های تابعی سروکار خواهیم داشت مشکلات دشوارتری را پیش رو داریم. از این رو مسائل وارون ژئوفیزیکی نیز گرچه ممکن است ماهیتاً مسائلی پیوسته باشند اما جهت حل به صورت مسائل گسسته درآمده و حل خواهند شد. گسسته نمودن توابع پیوسته همیشه یک تقریب است که اثراتی از عدم دقت در تئوری مسأله از خود بر جای می‌گذارد. با این وجود نظریه مسائل وارون گسسته جایگاه شروع خوبی برای مطالعه مسائل وارون در حالت کلی است زیرا این نظریه اصولاً بر نظریه بردارها و ماتریس‌ها بنا شده است و با نظریات پیچیده‌تر توابع و عملگرهای پیوسته سروکار ندارد. از سوی دیگر مسائل وارون به دو دسته خطی[9] و غیرخطی[10] قابل تقسیم‌بندی هستند. در مسائل وارون خطی ارتباط بین پارامترهای مدل و داده‌ها خطی است در حالی که در مسائل غیرخطی این ارتباط خطی نبوده اما قابل تبدیل به مسائل خطی با استفاده از روش‌هایی مانند بسط تیلور، گرادیان و … هستند.

[1] Discrete parameters

[2] Continuous functions

[3] Matrix equations

[4] Integral equations

[5] Model parameters

[6] Discrete

[7] Continuous

[8] Non Uniqueness

[9] Linear

[10] Non-Linear