بررسی تأثیر آموزش با محوریت تجسم بر عملکرد حل مسأله ریاضی دانش آموزان سال سوم راهنمایی

صفحه

تأییدیه ی هیات داوران……………………………………………………………………………………………………………………………آ

تقدیم به ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..ب

تقدیر وتشکر…………………………………………………………………………………………………………………………………………..ت

چکیده…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….ث فهرست مطالب………………………………………………………………………………………………………………………………………..ج

فهرست جدول ها……………………………………………………………………………………………………………………………………..ر فهرست نمودارها……………………………………………………………………………………………………………………………………س فهرست شکل ها……………………………………………………………………………………………………………………………………ض

فصل اول طرح مسأله………………………………………………………………………………………………………………… …………..1

1-1-  مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………..2

1-2- بیان مسأله………………………………………………………………………………………………………………………….2

1-3- اهداف تحقیق…………………………………………………………………………………………………………………….4

1-4- قلمرو …………………………………………………………………………………………………………………………………4

1-5- اهمیت وضرورت تحقیق…………………………………………………………………………………………………….4

1-6- پرسش های تحقیق……………………………………………………………………………………………………………6

1-7- تعریف واژه ها، مفاهیم ومتغیر ………………………………………………………………………………………….6

فصل دوم: مروری بر ادبیات تحقیق………………………………………………………………………………………………………..9

2-1- مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………10

2-2-  تجسم از دیدگاه پیاژه…………………………………………………………………………………………………….10

2-3- تجسم و ریاضیات…………………………………………………………………………………………………………….12

2-3-1- ارتباط تجسم با ادراک و ادراک ریاضی………………………………………………………………..12

2-3-2- تعاريف تجسم  و تفكر جسمي  در آموزش رياضيات……………………………………………14

2-3-3- ارتباط تجسم با فرهنگ و جنسیت افراد………………………………………………………………18

2-3-4-  تجسم و سن افراد………………………………………………………………………………………………. 19

2-3-5- كدگذاري اطلاعات، پردازش رياضي و ارتباط آنها با تجسم…………………………………20

2-3-6- تجسم و ادبیات مرتبط با فرایند آموزش……………………………………………………………….21

2-3-7- تجسم ادراکی در مقابل تجسم توصیفی ……………………………………………………………..24

2-3-8- نظریه نمادشناختی نقش تجسم، درآموزش ریاضیات………………………………………….26

2-3-9- تاريخچه ی اکتشافات ریاضی و ارتباط آن با تجسم…………………………………………….28

2-3-10- حل مساله وتجسم از دیدگاه آموزشگران ریاضی……………………………………………….30

2-3-11- تجسم به عنوان ابزاری برای حل مسأله……………………………………………………………..32

2-3-12- تجسم و حل مسأله ی هندسی………………………………………………………………………….35

2-3-13- تجسم شکل های 2 و 3 بعدی و جایگاه کامپیوتر……………………………………………..37

2-3-14-  جایگاه تجسم در مهارت های هندسی……………………………………………………………..39

2-3-15- تجسم در نظریه های متفاوت آموزش هندسه…………………………………………………..40

2-3-15-1-  پیاژه و نظریة او در مورد آموزش هندسه………………………………………………..40

2-3-15-2- فن هیلی ها و نظریة آنها در مورد آموزش هندسه………………………………….41

2-3-15-3- تجسم ادراکی در حمایت از سطوح فن هیلی………………………………………….42

2-3-16- تجسم و درک اشکال ساده هندسی……………………………………………………………………43

2-3-17- کشف هندسی و تجسم………………………………………………………………………………………46

2-3-18- توانایی فضایی……………………………………………………………………………………………………..48

2-4-  تجسم در شاخه های غیر هندسی ریاضیات………………………………………………………………….50

2-4-1- تجسم وریاضیات گسسته………………………………………………………………………………………51

2-4-2- تجسم در ریاضیات عمومی وآنالیز پایه…………………………………………………………………52

2-4-3- تجسم برای درک وتعمیم در الگوهای شکلی جبری……………………………………………53

2-5- چهار چوب عملی- نظری تحقیق……………………………………………………………………………………58

2-6-مروری بر تحقیقات انجام شده………………………………………………………………………………………….62

فصل سوم: روش وطرح تحقیق…………………………………………………………………………………………………………….65

3-1-  مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………… 66

3-2-  روش و طرح تحقیق……………………………………………………………………………………………………….66

3-3-  فرآیند تحقیق…………………………………………………………………………………………………………………67

3-3-1-  مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………………….67

3-3-2- نحوه اجرای مراحل تحقیق میدانی………………………………………………………………………67

3-4-  جامعه آماری………………………………………………………………………………………………………………….67

3 -5-  نمونه، روش نمونه گیری و حجم نمونه………………………………………………………………….67

3-6- ابزار گردآوری داده ها (اطلاعات)……………………………………………………………………………………68

3-6-1 روش تهیه آزمون………………………………………………………………………………………………………….68

 

 

3-6-2 روایی ابزار گردآوری داده ها و اطلاعات ………………………………………………………………..69

3-6-3 پایایی ابزار گردآوری اطلاعات…………………………………………………………………………………69

3-7- روش گردآوری اطلاعات…………………………………………………………………………………………….70

3-8- روش تجزیه و تحلیل داده ها (اطلاعات)………………………………………………………………….70

فصل چهارم: تجزیه تحلیل داده ها و اطلاعات…………………………………………………………………………………….73

4-1- مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………74

4-2- تجزيه و تحليل داده‌ها…………………………………………………………………………………………………….74

4-3- آمار چيست؟……………………………………………………………………………………………………………………74

4-3-1-  آمار توصیفی…………………………………………………………………………………………………………74

4-3-1-1- پرسشنامه نگرش………………………………………………………………………………………… 75

4-3-1-1-1 سئوال اول پرسشنامه نگرش………………………………………………………………75

4-3-1-1-2 سئوال دوم پرسشنامه نگرش………………………………………………………………76

4-3-1-1-3 سئوال سوم پرسشنامه نگرش……………………………………………………………..76

4-3-1-1-4 سئوال چهارم پرسشنامه نگرش………………………………………………………….77

4-3-1-1-5 سئوال پنجم پرسشنامه نگرش ………………………………………………………….78

4-3-1-1-6 سئوال ششم پرسشنامه نگرش……………………………………………………………79

4-3-1-1-7 سئوال هفتم پرسشنامه نگرش……………………………………………………………80

4-3-1-1-8 سئوال هشتم پرسشنامه نگرش…………………………………………………………..81

4-3-1-1-9 سئوال نهم پرسشنامه نگرش………………………………………………………………82

4-3-1-1-10 سئوال دهم پرسشنامه نگرش………………………………………………………….83

4-3-1-1-11 سئوال یازدهم پرسشنامه نگرش……………………………………………………..84

4-3-1-1-12 سئوال دوازدهم پرسشنامه نگرش……………………………………………………85

4-3-1-1-13 سئوال سیزدهم پرسشنامه نگرش……………………………………………………86

4-3-1-1-14 سئوال چهاردهم پرسشنامه نگرش…………………………………………………..87

4-3-1-1-15 سئوال پانزدهم پرسشنامه نگرش…………………………………………………….88

4-3-1-1-16 سئوال شانزدهم پرسشنامه نگرش……………………………………………………89

4-3-1-1-17 سئوال هفدهم پرسشنامه نگرش………………………………………………………90

4-3-1-1-18 سئوال هجدهم پرسشنامه نگرش…………………………………………………….91

4-3-1-1-19 سئوال نوزدهم پرسشنامه نگرش……………………………………………………..92

4-3-1-1-20 سئوال بیستم پرسشنامه نگرش……………………………………………………….93

4-3-1-1-21 سئوال بیست و یکم پرسشنامه نگرش……………………………………………..94

4-3-1-1-22 سئوال بیست و دوم پرسشنامه نگرش……………………………………………..95

4-3-1-1-23 سئوال بیست و سوم پرسشنامه نگرش…………………………………………….96

4-3-1-2- تحلیل سئوالات پس آزمون…………………………………………………………………………97

4-3-1-2-1 سئوال اول پس آزمون………………………………………………………………………. 97

4-3-1-2-2 سئوال دوم پس آزمون ………………………………………………………………………97

4-3-1-2-3 سئوال سوم پس آزمون……………………………………………………………………….98

4-3-1-2-4 سئوال چهارم پس آزمون……………………………………………………………………99

4-3-1-2-5 سئوال پنجم پس آزمون…………………………………………………………………..101

4-3-1-2-6 سئوال ششم پس آزمون…………………………………………………………………..101

4-3-1-2-7 سئوال هفتم پس آزمون…………………………………………………………………..101

4-3-1-2-8 سئوال هشتم پس آزمون………………………………………………………………….102

4-3-1-2-9 سئوال نهم پس آزمون……………………………………………………………………..103

4-3-1-2-10 سئوال دهم پس آزمون…………………………………………………………………104

4-3-1-2-11 سئوال یازدهم پس آزمون……………………………………………………………..104

4-3-1-2-12 سئوال دوازدهم پس آزمون……………………………………………………………105

4-3-1-3- تست ورق تاشو ( PFT test)…………………………………………………………………..106

4-3-1-3-1 گزینه اول(PFT test)…………………………………………………………………….107

4 -3-1-3-2  گزینه دوم(PFT test) ………………………………………………………………..107

4-3-1-3-3 گزینه سوم (PFT test) ………………………………………………………………..108

4-3-1-3-4  گزینه چهارم (PFT test) ……………………………………………………………109

4-3-1-3-5  گزینه پنجم(PFT test) ………………………………………………………………110

4-3-1-3-6  گزینه ششم(PFT test) ……………………………………………………………….111

4-3-1-3-7 گزینه هفتم (PFT test) ……………………………………………………………….112

4-3-1-3-8  گزینه هشتم(PFT test) ……………………………………………………………..113

4-3-1-3-9  گزینه نهم (PFT test) ………………………………………………………………..114

4-3-1-3-10 گزینه دهم(PFT test) …………………………………………………………….. 115

4-3-2- آمار استنباطي…………………………………………………………………………………………………….116

4-3-2-1- آزمون لوین………………………………………………………………………………………………..116

4-3-2-2-  آزمون کولموگروف اسمیرنف……………………………………………………………………117

4-3-2-3- فرضیه اول………………………………………………………………………………………………….117

4-3-2-4- فرضیه دوم ………………………………………………………………………………………………..118

4-3-2-5- فرضیه سوم ……………………………………………………………………………………………….120

4-3-2-6-فرضیه چهارم………………………………………………………………………………………………121

فصل پنجم: نتیجه گیری، بحث پیشنهادها……………………………………………………………………………………….122

5-1- مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………123

5-2- پاسخ به پرسشهای این تحقیق…………………………………………………………………………………….123

5-3-  بحث و بررسی……………………………………………………………………………………………………………..124

5-4-  محدودیتهای تحقیق……………………………………………………………………………………………………130

5-5- پیشنهادهایی برای تحقیقات بعدی………………………………………………………………………………130

5-6- توصیه ها……………………………………………………………………………………………………………………….130

5-6-1-  توصیه های تحقیق برای معلمان………………………………………………………………………130

5-6-2-  توصیه های تحقیق برای برنامه ریزان کتب درسی…………………………………………..132

پیوست………………………………………………………………………………………………………………………………………………..133

پیوست1 (شرح کامل تدریس به شیوه مبتنی برتجسم)……………………………………………..134

پیوست 2(طرح درس روزانه)………………………………………………………………………………………..139

پیوست 3(پرسشنامه ی نگرش سنج)…………………………………………………………………………..140

پیوست 4(پیش آزمون)…………………………………………………………………………………………………141

پیوست 5(پس آزمون)…………………………………………………………………………………………………..146

پیوست 6( برخی از پاسخ های دانش آموزان به سئوالات)…………………………………………..152

منابع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..159

فهرست جدول ها

عنوان                                                                                                                         صفحه

 

جدول2-1: تفاوت بین تجسم توصیفی و تجسم ادراکی (کابرال 2004)……………………………………………24

جدول 2-2: چار چوبی برای آموزش به شیوه ی معمول و آموزش مبتنی بر تجسم………………………….60

جدول3-1: طرح تحقیق……………………………………………………………………………………………………………………….66

جدول 3-2 : روشهای تجزیه تحلیل داده ها………………………………………………………………………………………..72

جدول 4-1 : آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال اول پرسشنامه نگرش……………….75

جدول 4-2: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال دوم پرسشنامه نگرش………………..76

جدول 4-3: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال سوم پرسشنامه نگرش……………….76

جدول 4-4: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال چهارم پرسشنامه نگرش……………78

جدول 4-5: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال پنجم پرسشنامه نگرش……………..78

جدول 4-6: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال ششم پرسشنامه نگرش……………..79

جدول 4-7: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال هفتم پرسشنامه نگرش……………..80

جدول 4-8: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال هشتم پرسشنامه نگرش…………….81

جدول 4-9 : آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال نهم پرسشنامه نگرش…………….. 82

جدول 4-10: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال دهم پرسشنامه نگرش……………83

جدول 4-11: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال یازدهم پرسشنامه نگرش………..84

جدول 4-12: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال دوازدهم پرسشنامه نگرش……..85

جدول 4-13: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال سیزدهم پرسشنامه نگرش………86

جدول 4-14: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال چهاردهم پرسشنامه نگرش…….87

جدول 4-15: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال پانزدهم پرسشنامه نگرش……….88

جدول 4-16: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال شانزدهم پرسشنامه نگرش……..89

جدول 4-17: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال هفدهم پرسشنامه نگرش………..90

جدول 4-18: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال هجدهم پرسشنامه نگرش…….. 91 جدول 4-19: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال نوزدهم پرسشنامه نگرش………..92

جدول 4-20: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال بیستم پرسشنامه نگرش…………93

جدول4-21: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال بیست و یکم پرسشنامه نگرش..94

جدول4-22: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال بیست ودوم پرسشنامه نگرش….95

جدول4-23: آماره های مربوط به پاسخ های آزمودنی ها به سئوال بیست وسوم پرسشنامه نگرش…96

جدول4-24: آماره های مربوط به پاسخ های سئوال اول پرسشنامه………………………………………………… 97

جدول4-25: آماره های مربوط به پاسخ های سئوال دوم پرسشنامه………………………………………………….98

جدول4-26: آماره های مربوط به پاسخ های سئوال سوم پرسشنامه…………………………………………………99

جدول4-27: آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به سئوال چهارم پرسشنامه……………………………99

جدول4-28: آماره های مربوط به پاسخ های دوگروه به سئوال پنجم پرسشنامه……………………………100

جدول4-29: آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به سئوال ششم پرسشنامه………………………….101

جدول4-30 : آماره های مربوط به پاسخ های سئوال هفتم پرسشنامه……………………………………………102

جدول 4-31: آماره های مربوط به پاسخ های سئوال هشتم پرسشنامه………………………………………….103

جدول 4-32: آماره های مربوط به پاسخ های دوگروه به سئوال نهم پرسشنامه……………………………..103

جدول4-33: آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به سئوال دهم پرسشنامه……………………………104

جدول4-34:آماره های مربوط به پاسخ های دوگروه به سئوال یازدهم پرسشنامه………………………….105

جدول4-35:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به سئوال دوازدهم پرسشنامه……………………….106

جدول4-36:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه اول آزمون PFT……………………………107

جدول4-37: آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه دوم آزمون PFT…………………………108

جدول4-38:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه سوم آزمون PFT………………………….108

جدول4-39:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه چهارم آزمون PFT………………………109

جدول4-40:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه پنجم آزمون PFT………………………..110

جدول4-41:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه ششم آزمون PFT………………………..111

جدول4-42:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه هفتم آزمون PFT………………………..112

جدول4-43: آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه هشتم آزمون.PFT……………………..113

جدول4-44:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه نهم آزمون PFT…………………………..114

جدول4-45:آماره های مربوط به پاسخ های دو گروه به گزینه دهم آزمون PFT………………………….115

جدول4-46: نتایج بررسی همگنی واریانس ها………………………………………………………………………………….116

جدول4-47: آزمون نرمال بودن توزیع نمونه(آزمون کولموگروف اسمیرنف) ………………………………….117

جدول4-48: نتایج بررسی متوسط عملکرد حل مساله دانش آموزان  سال سوم راهنمایی…………….118

جدول4- 49 الف: نتایج بررسی نگرش به ریاضیات در دانش آموزان سال سوم راهنمایی………………119

جدول4- 49 ب: مقایسه ی نگرش به ریاضیات در پیش آزمون و پس آزمون نگرش……………………..119

جدول4-50 : نتایج بررسی توانایی فضایی در دانش آموزان سال سوم راهنمایی…………………………….120

جدول4-51 : نتایج بررسی استفاده از تجسم در دانش آموزان سال سوم راهنمایی……………………….121

فهرست نمودارها

عنوان                                                                                                                          صفحه

نمودار 4- 1: پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال اول…………………………………………..75

نمودار 4-2 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال دوم………………………………………….76

نمودار 4-3 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال سوم…………………………………………77

نمودار 4-4 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال چهارم………………………………………78

نمودار 4-5 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال پنجم………………………………………..79

نمودار 4-6 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال ششم………………………………………..80

نمودار 4-7 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال هفتم………………………………………..81

نمودار 4-8 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال هشتم………………………………………82

نمودار 4-9 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال نهم…………………………………………..83

نمودار 4-10 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال دهم………………………………………84

نمودار 4-11 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال یازدهم…………………………………..85

نمودار 4-12 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال دوازدهم…………………………………86

نمودار 4-13 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال سیزده……………………………………87

نمودار 4-14 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال چهاردهم……………………………….88

نمودار 4-15 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال پانزدهم…………………………………89

نمودار 4-16 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال شانزدهم………………………………..90

نمودار 4-17 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال هفدهم………………………………….91

نمودار 4-18 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال هجدهم…………………………………92

نمودار 4-19 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال نوزدهم………………………………….93

نمودار 4-20 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال بیستم……………………………………94

نمودار 4-21 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال بیست و یکم…………………………95

نمودار 4-22 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال بیست و دوم………………………….96

نمودار 4-23 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به سئوال بیست و سوم………………………..97

نمودار 4-24 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه اول………………………………………107

نمودار 4-25 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه دوم………………………………………108

نمودار 4-26 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه سوم……………………………………..109

نمودار 4-27 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه چهارم………………………………….110

نمودار 4-28 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه پنجم……………………………………111

نمودار 4-29 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه ششم……………………………………112

نمودار 4-30 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه هفتم……………………………………113

نمودار 4-31 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه هشتم………………………………….114

نمودار 4-32 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه نهم………………………………………115

نمودار 4-33 : پراکندگی پاسخ های آزمودنی های دو گروه به گزینه دهم……………………………………..116

نمودار 4-34 : اختلاف دو گروه آموزش به روش مبتنی بر تجسم وبه روش معمول……………………….118

نمودار 4-35 : پراکندگی نگرش به ریاضیات در دو گروه کنترل وگواه……………………………………………119

نمودار 4-36 : پراکندگی توانایی فضایی در دو گروه کنترل وگواه………………………………………………….120

نمودار 4-37 : مقایسه قدرت تعمیم وحل مسایل جبری در دو گروه کنترل وگواه……………………….121

فهرست شکل ها

عنوان                                                                                                                          صفحه

شکل2-1: مقایسه فعالیت هایی که دردو نیم کره مغز صورت می گیرد…………………………………………….14

شکل2-2: ارتباط سلسله مراتبی اصطلاحات، از دیدگاه ارسو (2007)……………………………………………….16

شکل2-3: نمایش تفاوت بین تجسم کننده ها در تفکر هندسی دو بعدی و سه بعدی…………………… 22

شکل2-4: نمایش علامت های نسبتهای مثلثاتی………………………………………………………………………………..23

شکل2-5: مقایسه ی طرح تجسم ادراکی وطرح تجسم توصیفی برای حل مسأله1 …………………………25

شکل2-6: مقایسه ی طرح تجسم ادراکی وطرح تجسم توصیفی برای حل مسأله2………………………….25

شکل2-7: دو ابزار نشانه ای برای یک موضوع واحد……………………………………………………………………………26

شکل2-8: نمایش بین موقعیت حل مسأله و پیوندها و اتصال ها……………………………………………………….27

شکل2-9: اثبات تجسمی فیثاغورس از قضیه خودش…………………………………………………………………………29

شکل2-10: فرایند حل تجسمی یک مسأله…………………………………………………………………………………………36

شکل2-11: تشخیص شکل های سه بعدی رسم شده در صفحه دشوار است……………………………………38

شکل2-12:…………………………………………………………………………………………………………………………………………..43

شکل2-13: این شکل یک مثلث دیده می شود………………………………………………………………………………….44

شکل 2-14: :……………………………………………………………………………………………………………………………………….44

شکل2-15: با تغییر زمینه، مجموعه مشخصه تغییر می کند……………………………………………………………..45

شکل2-16: تغییر موقعیت محورهای تقارن………………………………………………………………………………………..45

شکل2-17: یکی از سئوالات آزمون کروتتسکی………………………………………………………………………………….46

شکل2-18:……………………………………………………………………………………………………………………………………………47

شکل2-19:……………………………………………………………………………………………………………………………………………47

شکل 2-20:تجسم موجب حل مسأله ی هندسه  ……………………………………………………………………………..48

شکل 2-21: تجسم اعداد روی محور…………………………………………………………………………………………………..51

شکل2-22: نقش تجسم در یافتن مشتق تابع معکوس………………………………………………………………………52

شکل 2-23: راهبرد های تجسمی حل شکل های الگویی………………………………………………………………….54

شکل2-24:شمارش تجسمی متحدالمرکز برای حل مسأله ی کف پوش کردن مربع ها…………………..55

شکل2-25: فرمولهای معادل برای یک مسأله……………………………………………………………………………………..56

شکل5-1:……………………………………………………………………………………………………………………………………………125

شکل5-2:……………………………………………………………………………………………………………………………………………126

شکل5-3:………………………………………………………………………………………………………………………………………….126

شکل5-4:………………………………………………………………………………………………………………………………………….127

شکل5-5:………………………………………………………………………………………………………………………………………….127

شکل5-6:………………………………………………………………………………………………………………………………………….127

شکل5-7:………………………………………………………………………………………………………………………………………….128

شکل5-8:………………………………………………………………………………………………………………………………………….129